Обозначения и соглашения

Примечание: эта статья создана с целью помочь читателю ориентироваться в математических записях. В высшей математике большинство рассуждений ведётся, как правило, с использованием математических символов и формул, которые позволяют значительно сократить записи часто употребляемых выражений.

Базовые математические символы

Кванторы:

$\forall$ — квантор общности. Имеет значения «любой», «для любого», «каждый», «для каждого», «все», «для всех».
$\exists$ — квантор существования. Имеет значения «существует», «существует не меньше одного». Иногда к квантору существования приписывается восклицательный знак (то есть квантор принимает вид $\exists!$ ), и тогда полученное обозначение получает смысл «существует только один», «существует единственный».

Логические символы:

$\Rightarrow$ — импликация. Имеет значения «если… то…», «следовательно», «что влечёт».
$\Leftrightarrow$ — эквиваленция. Имеет значения «тогда, и только тогда, когда…», «что эквивалентно».
$\wedge$ — конъюнкция. Имеет значение «и». (то есть выражение $A \wedge B$ является истинным тогда, и только тогда, когда истинными являются оба выражения $A$ и $B$ )
$\vee$ — дизъюнкция. Имеет значение «или» в неисключающем смысле. (то есть выражение $A \vee B$ является истинным тогда, и только тогда, когда истинным является либо выражение $A$ , либо выражение $B$ , либо оба выражения)

Примечание: в следующих списках упоминаются множества и связанные с ними бинарные операции и отношения. Более подробно об этом можно прочитать в этой статье.

Обозначения, связанные с множествами:

$\{, \}$ — фигурные скобки. Используются для обозначения множеств, состоящих из элементов, указанных/свойства которых указано внутри скобок.
Например, под выражением $\{a, b, c\}$ подразумевается множество, состоящее из элементов $a$ , $b$ и $c$ .
$\in$ — символ принадлежности. Имеет значение «содержится в», «принадлежит», «находится в».
Например, $a \in \{a, b \}$ (то есть $a$ содержится в множестве, которое состоит из элементов $a$ и $b$ ) является истинным высказыванием, а $c \in \{a, b \}$ — ложным.
$\notin$ — символ отсутствия. Читается как символ принадлежности с приставкой «не».
Например, $a \notin \{a, b \}$ является ложным высказыванием, а $c \notin \{a, b \}$ — истинным.
$\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ — множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел соответственно.
$\subset$ — отношение подмножества. Читается «содержится», «включено в».
Например, $\{ 1, 2 \} \subset \{ 0, 1, 2, 10 \}$ , поскольку все элементы первого множества ( $1$ и $2$ ) содержатся во втором множестве $\{ 0, 1, 2, 10 \}$
$\subseteq$ — отношение подмножества, с допусканием равенства. Читается аналогично предыдущему. Имеет следующий смысл: $A \subseteq B$ $\Leftrightarrow$ $A = B$ $\vee$ $A \subset B$
$\cap$ — операция пересечения множеств.
$\cup$ — операция объединения множеств.
$\times$ — операция декартова произведения множеств.
$\left(, \right), \left[, \right]$ — круглые и квадратные скобки. Зачастую используются для обозначения отрезков, интервалов и полуинтервалов во множестве вещественных чисел.
Например, полуинтервал $\left[ -3; 20\right)$ содержит все вещественные числа между $-3$ и $20$ , включая $-3$ и не включая $20$

Другие выражения и символы:

$\sum$ — символ суммы с условиями. Как правило, условия суммирования описываются под символом суммы, а предел суммирования/номер последнего слагаемого — над ним.
Например, под выражением $\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}$ подразумевается сумма $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}$ , а само выражение читается как «сумма $a_{i}$ по $i$ от $1$ до $n$ «.
$\prod$ — символ произведения с условиями. Условия накладываются аналогично символу суммы с условиями.
Например, под выражением $\prod\limits_{i=1}^{n}{a_i}$ подразумевается произведение $a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}$ .
$i = \overline{a, b}$ — выражение со «счётчиком» $i$ , где $a, b$ — большее и меньшее соответственно целые числа либо бесконечность (со знаком плюс или минус). Под этим выражением подразумевается запись вида $i = a, a+1, a+2, \ldots, b-2, b-1, b$ .
Например, под выражением $a_{i} = i^{2}, i = \overline{1, 3}$ подразумевается $a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{3} = 9$
$\overline{a, b}$ — множество элементов $\{ a, a+1, a+2, \ldots, b-2, b-1, b \}$ , где $a, b$ — большее и меньшее соответственно целые числа либо бесконечность (со знаком плюс или минус). В случае, символ является бесконечностью, сама бесконечность в множество не входит. Иногда предыдущее выражение $i = \overline{a, b}$ (в котором выражение $\overline{a, b}$ уже не является множеством) заменяют записью вида либо $i \in \overline{a, b}$ либо $\forall i \in \overline{a, b}$ .
$\stackrel{\rm{def}}{K}$ — верхний индекс $\rm{def}$ над выражением $K$ . Подразумевает выражение « $K$ выполняется/верно по определению».