Обозначения и соглашения

Примечание: эта статья создана с целью помочь читателю ориентироваться в математических записях. В высшей математике большинство рассуждений ведётся, как правило, с использованием математических символов и формул, которые позволяют значительно сократить записи часто употребляемых выражений.

Базовые математические символы

Кванторы:

  • \forall — квантор общности. Имеет значения «любой», «для любого», «каждый», «для каждого», «все», «для всех».
  • \exists — квантор существования. Имеет значения «существует», «существует не меньше одного». Иногда к квантору существования приписывается восклицательный знак (то есть квантор принимает вид \exists!), и тогда полученное обозначение получает смысл «существует только один», «существует единственный».

Логические символы:

  • \Rightarrow — импликация. Имеет значения «если… то…», «следовательно», «что влечёт».
  • \Leftrightarrow — эквиваленция. Имеет значения «тогда, и только тогда, когда…», «что эквивалентно».
  • \wedge — конъюнкция. Имеет значение «и». (то есть выражение A \wedge B является истинным тогда, и только тогда, когда истинными являются оба выражения A и B)
  • \vee — дизъюнкция. Имеет значение «или» в неисключающем смысле. (то есть выражение A \vee B является истинным тогда, и только тогда, когда истинным является либо выражение A, либо выражение B, либо оба выражения)

Примечание: в следующих списках упоминаются множества и связанные с ними бинарные операции и отношения. Более подробно об этом можно прочитать в этой статье.

Обозначения, связанные с множествами:

  • \{, \} — фигурные скобки. Используются для обозначения множеств, состоящих из элементов, указанных/свойства которых указано внутри скобок.
    Например, под выражением \{a, b, c\} подразумевается множество, состоящее из элементов a, b и c.
  • \in — символ принадлежности. Имеет значение «содержится в», «принадлежит», «находится в».
    Например, a \in \{a, b \} (то есть a содержится в множестве, которое состоит из элементов a и b) является истинным высказыванием, а c \in \{a, b \} — ложным.
  • \notin — символ отсутствия. Читается как символ принадлежности с приставкой «не».
    Например, a \notin \{a, b \} является ложным высказыванием, а c \notin \{a, b \} — истинным.
  • \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} — множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел соответственно.
  • \subset — отношение подмножества. Читается «содержится», «включено в».
    Например, \{ 1, 2 \} \subset \{ 0, 1, 2, 10 \}, поскольку все элементы первого множества (1 и 2) содержатся во втором множестве \{ 0, 1, 2, 10 \}
  • \subseteq — отношение подмножества, с допусканием равенства. Читается аналогично предыдущему. Имеет следующий смысл: A \subseteq B \Leftrightarrow A = B \vee A \subset B
  • \cap — операция пересечения множеств.
  • \cup — операция объединения множеств.
  • \times — операция декартова произведения множеств.
  • \left(, \right), \left[, \right] — круглые и квадратные скобки. Зачастую используются для обозначения отрезков, интервалов и полуинтервалов во множестве вещественных чисел.
    Например, полуинтервал \left[ -3; 20\right) содержит все вещественные числа между -3 и 20, включая -3 и не включая 20

Другие выражения и символы:

  • \sum — символ суммы с условиями. Как правило, условия суммирования описываются под символом суммы, а предел суммирования/номер последнего слагаемого — над ним.
    Например, под выражением \sum\limits_{i=1}^{n}{a_i} подразумевается сумма a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}, а само выражение читается как «сумма a_{i} по i от 1 до n«.
  • \prod — символ произведения с условиями. Условия накладываются аналогично символу суммы с условиями.
    Например, под выражением \prod\limits_{i=1}^{n}{a_i} подразумевается произведение a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}.
  • i = \overline{a, b} — выражение со «счётчиком» i, где a, b — большее и меньшее соответственно целые числа либо бесконечность (со знаком плюс или минус). Под этим выражением подразумевается запись вида i = a, a+1, a+2, \ldots, b-2, b-1, b.
    Например, под выражением a_{i} = i^{2}, i = \overline{1, 3} подразумевается a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{3} = 9
  • \overline{a, b} — множество элементов \{ a, a+1, a+2, \ldots, b-2, b-1, b \}, где a, b — большее и меньшее соответственно целые числа либо бесконечность (со знаком плюс или минус). В случае, символ является бесконечностью, сама бесконечность в множество не входит. Иногда предыдущее выражение i = \overline{a, b} (в котором выражение \overline{a, b} уже не является множеством) заменяют записью вида либо i \in \overline{a, b} либо \forall i \in \overline{a, b}.
  • \stackrel{\rm{def}}{K} — верхний индекс \rm{def} над выражением K. Подразумевает выражение «K выполняется/верно по определению».

Более подробно о математических символах можно прочитать здесь.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *