Примечание: эта статья создана с целью помочь читателю ориентироваться в математических записях. В высшей математике большинство рассуждений ведётся, как правило, с использованием математических символов и формул, которые позволяют значительно сократить записи часто употребляемых выражений.
Базовые математические символы
Кванторы:
— квантор общности. Имеет значения «любой», «для любого», «каждый», «для каждого», «все», «для всех».
— квантор существования. Имеет значения «существует», «существует не меньше одного». Иногда к квантору существования приписывается восклицательный знак (то есть квантор принимает вид
), и тогда полученное обозначение получает смысл «существует только один», «существует единственный».
Логические символы:
— импликация. Имеет значения «если… то…», «следовательно», «что влечёт».
— эквиваленция. Имеет значения «тогда, и только тогда, когда…», «что эквивалентно».
— конъюнкция. Имеет значение «и». (то есть выражение
является истинным тогда, и только тогда, когда истинными являются оба выражения
и
)
— дизъюнкция. Имеет значение «или» в неисключающем смысле. (то есть выражение
является истинным тогда, и только тогда, когда истинным является либо выражение
, либо выражение
, либо оба выражения)
Примечание: в следующих списках упоминаются множества и связанные с ними бинарные операции и отношения. Более подробно об этом можно прочитать в этой статье.
Обозначения, связанные с множествами:
— фигурные скобки. Используются для обозначения множеств, состоящих из элементов, указанных/свойства которых указано внутри скобок.
Например, под выражениемподразумевается множество, состоящее из элементов
,
и
.
— символ принадлежности. Имеет значение «содержится в», «принадлежит», «находится в».
Например,(то есть
содержится в множестве, которое состоит из элементов
и
) является истинным высказыванием, а
— ложным.
— символ отсутствия. Читается как символ принадлежности с приставкой «не».
Например,является ложным высказыванием, а
— истинным.
,
,
,
,
— множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел соответственно.
— отношение подмножества. Читается «содержится», «включено в».
Например,, поскольку все элементы первого множества (
и
) содержатся во втором множестве
— отношение подмножества, с допусканием равенства. Читается аналогично предыдущему. Имеет следующий смысл:
— операция пересечения множеств.
— операция объединения множеств.
— операция декартова произведения множеств.
— круглые и квадратные скобки. Зачастую используются для обозначения отрезков, интервалов и полуинтервалов во множестве вещественных чисел.
Например, полуинтервалсодержит все вещественные числа между
и
, включая
и не включая
Другие выражения и символы:
— символ суммы с условиями. Как правило, условия суммирования описываются под символом суммы, а предел суммирования/номер последнего слагаемого — над ним.
Например, под выражениемподразумевается сумма
, а само выражение читается как «сумма
по
от
до
«.
— символ произведения с условиями. Условия накладываются аналогично символу суммы с условиями.
Например, под выражениемподразумевается произведение
.
— выражение со «счётчиком»
, где
— большее и меньшее соответственно целые числа либо бесконечность (со знаком плюс или минус). Под этим выражением подразумевается запись вида
.
Например, под выражениемподразумевается
— множество элементов
, где
— большее и меньшее соответственно целые числа либо бесконечность (со знаком плюс или минус). В случае, символ является бесконечностью, сама бесконечность в множество не входит. Иногда предыдущее выражение
(в котором выражение
уже не является множеством) заменяют записью вида либо
либо
.
— верхний индекс
над выражением
. Подразумевает выражение «
выполняется/верно по определению».
Более подробно о математических символах можно прочитать здесь.