Целые числа. Принцип Архимеда

Вернуться к: Математический анализ I

Одна из аксиом сложения предполагает наличие у каждого числа x противоположного ему числа -x, т. е. такого, что x + (-x) = 0.

Целые числа

Определение. Натуральные числа, противоположные им и число 0 будем называть целыми числами. Множество всех целых чисел обозначается через \mathbb{Z} .

Лемма 1. Во всяком непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел существует наибольший элемент.
Пусть A – ограниченное сверху подмножество множества целых чисел. Тогда у него существует верхняя грань c = \sup A . Число c-1 не является верхней границей множества A и поэтому найдется такое z_{0} \in A , что c \geq z_{0} > c-1 , то z' > z_{0}+1 (во множестве \mathbb{Z} между z_{0} и z_{0} + 1 нет целых чисел). Но z_{0} + 1 > c , а значит, и z' > c , что противоречит тому, что c – верхняя граница множества A .
Следствие. Множество \mathbb{N} всех натуральных чисел неограничено сверху.
В самом деле, если бы \mathbb{N} было бы ограниченным сверху, то, согласно лемме 1, в нем нашелся бы наибольший элемент n_{0} .
Но n_{0} + 1 > n_{0} и n_{0} + 1 \in \mathbb{N} , что приводит к противоречию.
С помощью кванторов это следствие можно записать так:\forall a \in \mathbb{R} \exists n \in \mathbb{N}: n>a .
Лемма 2. В каждом непустом ограниченном снизу подмножестве
целых чисел существует наименьший элемент.

Доказательство леммы 2 аналогично доказательству леммы 1.

Принцип Архимеда

Определение. Рациональным называется число, которое может быть представлено в виде \frac{p}{q} , где p – целое, q – натуральное. Множество всех рациональных чисел обозначается через \mathbb{Q} .
Теорема (принцип Архимеда). Для любого действительного числа x и для любого положительного h существует единственное целое число k_{0} , такое, что k_{0}h > x \geq (k_{0}-1)h .
Зададим x \in \mathbb{R} и h > 0 . Множество целых чисел k , таких, что k_{0} > \frac{x}{h} , непусто в силу следствия из леммы 1, и это множество ограничено снизу. Поэтому, в силу леммы 2, в этом множестве есть наименьший элемент k_{0} , и он единственный. Так как k_{0} > \frac{x}{h} , то k_{0}h > x ,а из неравенства k_{0} - 1 \leq \frac{x}{h} следует, что (k_{0} - 1)h \leq x .

С геометрической точки зрения принцип Архимеда означает, что каждая точка x \in \mathbb{R} попадает в один, и только в один из полуинтервалов ((k - 1)h, kh) .

Следствие из принципа Архимеда. Пусть a , b – действительные числа, такие, что b > a . Тогда найдется такое рациональное число r , что b > r > a .
Выберем натуральное n > \frac{1}{b-a}(оно существует в силу следствия из леммы 1). Применяя принцип Архимеда с h = \frac{1}{n} , найдем такое целое k , что \frac{k}{n} \geq a > \frac{k-1}{n} . Обозначим r = \frac{k}{n} \in \mathbb{Q} .Остается показать, что b > r . Если r = \frac{k}{n} \geq b , то из неравенства \frac{k-1}{n} \leq aполучим, что \frac{1}{n} \geq b-a , т. е. n \leq \frac{1}{b-a} , что противоречит выбору числа n .

Это следствие называют свойством плотности рациональных чисел.

  1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу часть 1, стр. 9-10
  2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3-х т. — М.: Наука, 1962., Т. 1., Стр. 28 — 35
  3. Кудрявцев Л. Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003., Стр. 17 — 21
  4. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том 1. — М.: ДРОФА, 2003., Стр. 39 — 47
  5. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001., Стр. 20 — 34
  6. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: в 2-х ч. — М.: Наука, 1982., Ч. 1., Стр. 50 — 56
Тест

Проверь себя!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *