Ограниченные множества

Вернуться к: Математический анализ I

Пусть E- непустое множество действительных чисел.

Определение. Множество E называется ограниченным сверху, если существует такое M\in\mathbb {R}, что для всех x\in E справедливо неравенство x\le { M }. Число M называется верхней границей множества E.
Множество E называется ограниченным снизу, если существует такое m\in\mathbb {R}, что для всех x\in E справедливо неравенство x\ge { m }. Число m называется нижней границей множества E.

У ограниченного сверху множества существует сколь угодно много верхних границ. Действительно, если M- верхняя граница множества E, то для любого положительного \varepsilon число M+\varepsilon также является верхней границей E. Аналогично, у ограниченного снизу множества существует сколь угодно много нижних границ.

С геометрической точки зрения ограниченность сверху множества E означает наличие на числовой прямой такой точки M, что все точки множества E расположены не правее M. Аналогично, ограниченность снизу множества E означает наличие на числовой прямой такой точки m, что все точки множества E расположены не левее, чем m.

Определение. Множество E называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т. е. если существуют такие m,M\in \mathbb {R}, что для всех x\in E справедливо неравенство m\le x\le M.

С геометрической точки зрения ограниченность E означает, что все точки множества E содержатся в некотором отрезке \left[ m,M \right] числовой прямой.

Определение. Элемент x\in\ E называется наибольшим элементом множества E, если для любого z\in E справедливо неравенство z\le { x }.
Элемент y\in\ E называется наименьшим элементом множества E, если для любого z\in E справедливо неравенство z\ge { y }.

Очевидно, что если во множестве E существует наибольший элемент, то это множество ограничено сверху, а если в E существует наименьший элемент, то это множество ограничено снизу. Однако не каждое ограниченное сверху (снизу) множество имеет наибольший (наименьший) элемент. Например, множество E=\left( 0,1 \right) \equiv \left\{ x\in { R }: 0 < x < 1 \right\} ограничено сверху (например, числом 1), однако в нем нет наибольшего элемента. Действительно, для любого x\in E число z=\frac { x+1 }{ 2 } > x также принадлежит E. Аналогично можно показать, что E ограничено снизу, но не имеет наименьшего элемента.

Пусть E – ограниченное сверху множество. Через \bar { E } обозначим совокупность всех верхних границ множества E. Множество \bar { E } непусто и, как мы уже видели, неограничено сверху. Очевидно, однако, что \bar { E } ограничено снизу (например, любой элемент множества E является нижней границей множества \bar { E }.)

Поставим следующий вопрос: существует ли во множестве \bar { E } наименьший элемент?

Определение. Пусть множество E ограничено сверху. Тогда наименьшая из всех его верхних границ называется верхней гранью, или точной верхней границей, и обозначается \mathrm{sup}\mathit{E}.

Это определение равносильно следующему.

Определение. Число M называется верхней гранью множества E, если выполнены следующие два условия:

  1. для каждого x\in\ E справедливо неравенство x\le M;
  2. для любого \varepsilon > 0 найдется такой x\in\ E, что x > M-\varepsilon .

Первое условие этого определения означает, что M является верхней границей множества E, а второе – что M- наименьшая из всех верхних границ, т. е. что никакое число M-\varepsilon < M не является верхней границей множества E.

Аналогично формулируется определение нижней грани.

Определение. Пусть множество E ограничено снизу. Тогда наибольшая из всех его нижних границ называется нижней гранью, или точной нижней границей, и обозначается \mathrm{inf}\mathit{E}.

Это определение равносильно следующему.

Определение. Число m называется нижней гранью множества E, если выполнены следующие два условия:

  1. для каждого x\in\ E справедливо неравенство x\ge m;
  2. для любого \varepsilon > 0 найдется такой x\in\ E, что x < m+\varepsilon .

Первое условие этого определения означает, что m является нижней границей множества E, а второе – что m- наибольшая из всех нижних границ, т. е. что никакое число {m}+\varepsilon > m не является нижней границей множества E.

Из определения верхней и нижней граней множества не следует сам факт их существования. Существование точных границ устанавливает следующая теорема.

Теорема (о существовании верхней грани). Каждое непустое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань.
Пусть E- ограниченное сверху множество, а \bar { E } - множество всех его верхних границ. Оба множества непустые, и для любых x\in\ E, y\in \bar { E } справедливо неравенство x\le y. По аксиоме полноты множества действительных чисел, существует такое число M, что для любых x\in\ E, y\in \bar { E } справедливо неравенство x\le M\le y. Левое неравенство означает, что число M является верхней границей множества E, т. е. M\in E, а правое неравенство показывает, что M- наименьший элемент во множестве E.

Аналогично доказывается следующая

Теорема (о существовании нижней грани). Каждое непустое ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань.

Понятие верхней (нижней) грани мы определили для ограниченного сверху (снизу) множества. Но не каждое множество ограничено сверху (снизу). Так, само множество действительных чисел \mathbb {R} неограничено сверху и снизу. В самом деле, для любого M\in\mathbb {R} найдется x\in\mathbb {R} , такой, что x > M (например, x = M + 1 ). Это означает, что никакое число M не является верхней границей множества \mathbb {R} . В случае если множество E неограничено сверху, иногда пишут \mathrm{sup}\mathit{E}=+\infty . Аналогично, если множество E неограничено снизу, то пишут \mathrm{inf}\mathit{E}=-\infty . Примером неограниченного снизу множества также может быть множество \mathbb {R} .

Задание 1
Пусть X=\left\{ x: x\in \mathbb {R}, { x }^{ 2 }< 2 \right\} .
1. Доказать, что множество X не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элементов.

Решим неравенство { x }^{ 2 } < 2 :

x\in \left( -\sqrt { 2 } ;\sqrt { 2 } \right) ;

Действительно, для любого x\in X число z=\frac { x+\sqrt { 2 } }{ 2 } > x также принадлежит X, следовательно, X не имеет наибольшего элемента. Аналогично можно показать, что X не имеет наименьшего элемента.

2. Найти \mathrm{sup} X и \mathrm{inf} X

\mathrm{sup} X=\sqrt{2} . Докажем это:

  1. \forall x\in X:x\le \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2} является верхней границей множества X.
  2. \forall \varepsilon > 0 найдется такой x\in\ X, что x > \sqrt{2}-\varepsilon .

Действительно, всякие вещественные x:-\sqrt{2} < x < \sqrt{2} будут элементами множества X, и \forall \varepsilon > 0, по аксиоме полноты множества действительных чисел, существует такой x\in\ X, что \sqrt{2} - x < \varepsilon , т. е. какое бы вещественное число из X мы не взяли, можно выбрать другое число из X так, что оно будет находиться ближе к \sqrt{2} на числовой прямой.

Аналогично доказывается, что \mathrm{inf} X=- \sqrt{2} .

Задание 2
Пусть X,Y - непустые ограниченные множества неотрицательных действительных чисел, XY- множество всевозможных чисел xy, где x\in X, y\in Y. Показать, что XY- ограниченное множество, причём \mathrm{sup} XY=\mathrm{sup} X\cdot \mathrm{sup} Y.

По теореме о существовании верхней грани, из ограниченности X и Y следует существование \mathrm{sup} X = { M }_{ x } и \mathrm{sup} Y = { M }_{ y }. Тогда справедливы неравенства: \forall x\in X:x\le { M }_{ x },x\ge 0, \forall y\in Y:x\le { M }_{ y },y\ge 0, из которых следует, что \forall x\in X \quad \forall y\in Y: xy\le { M }_{ x }{ M }_{ y } \left( * \right) , т. е. { M }_{ x }{ M }_{ y } является верхней границей множества XY. Кроме того, поскольку X и Y – множества неотрицательных действительных чисел, \forall x\in X \quad \forall y\in Y: xy\ge 0, т. е. 0 является нижней границей множества XY. Отсюда следует, что множество XY ограничено.

Поскольку { M }_{ x } и { M }_{ y } соответственно являются верхними гранями множеств X и Y, справедливы неравенства \forall { \varepsilon }_{ 1 } > 0\quad \forall x\in X:{ M }_{ 1 }-\varepsilon < x\le { M }_{ 1 } , \forall { \varepsilon }_{ 2 } > 0\quad \forall y\in Y:{ M }_{ 2 }-\varepsilon < y\le { M }_{ 2 } , из которых следует: \forall { \varepsilon }_{ 1 },{ \varepsilon }_{ 2 } > 0\quad \forall x\in X\quad \forall y\in Y: { M }_{ 1 }{ M }_{ 2 }-\left( { \varepsilon }_{ 1 }{ M }_{ 2 }+{ \varepsilon }_{ 2 }{ M }_{ 1 }-{ \varepsilon }_{ 1 }{ \varepsilon }_{ 2 } \right) < xy\le { { M }_{ 1 }M }_{ 2 } . Обозначим: { \varepsilon }_{ 3 }={ \varepsilon }_{ 1 }{ M }_{ 2 }+{ \varepsilon }_{ 2 }{ M }_{ 1 }-{ \varepsilon }_{ 1 }{ \varepsilon }_{ 2 } . Получим неравенство \forall { \varepsilon }_{ 3 } > 0\quad \forall x\in X\quad \forall y\in Y:{ M }_{ 1 }{ M }_{ 2 }-{ \varepsilon }_{ 3 } < xy\le { M }_{ 1 }{ M }_{ 2 }. Из него и из неравенства \left( * \right) следует, что \mathrm{sup} XY = { M }_{ 1 }{ M }_{ 2 } = \mathrm{sup} X\cdot \mathrm{sup} Y, что и требовалось доказать.

Задание 3
Найти \mathrm{sup} X и \mathrm{inf} X, если X=\left\{ x\in \mathbb {R} | x=\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } , n\in \mathbb {N} \right\} =\left\{ \frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 8 } ,\dots \right\} .
Обозначим { x }_{ i }=\frac { 1 }{ { 2 }^{ i } } ,i\in \mathbb {N} . Очевидно, \forall n\in \mathbb {N} :{ x }_{ n } > { x }_{ n+1 } \Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} :{ x }_{ 1 } \ge { x }_{ n }. Следовательно, { x }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } является верхней границей множества X. Очевидно, что она является наименьшей из верхних границ этого множества, отсюда \mathrm{sup} X=\frac { 1 }{ 2 } .
Последовательность { \left\{ { x }_{ n } \right\} }_{ 1 }^{ \infty } бесконечно убывает и ограничена снизу нулём. Покажем, что \mathrm{inf} X=0. Для этого достаточно доказать, что существует N\in \mathbb {N} такое, что \forall \varepsilon > 0: \forall n\in \mathbb {N}, n\ge N: {x}_{n}-0 < \varepsilon
\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } < \varepsilon
{ 2 }^{ n } > \frac { 1 }{ \varepsilon }
n > \log _{ 2 }{ \frac { 1 }{ \varepsilon } }
N=\left[ \log _{ 2 }{ \frac { 1 }{ \varepsilon } } \right] +1

Забегая вперёд, при рассмотрении следующего задания используем материал урока «Определение и элементарные свойства».

Задание 4
Найти \mathrm{sup} X и \mathrm{inf} X, если множество X состоит из элементов, являющихся членами последовательности \left\{ { x }_{ n } \right\} , где { x }_{ n }=\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 8 } +...+\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } }
Очевидно, { x }_{ 1 } < { x }_{ 2 } < { x }_{ 3 } < \dots , следовательно, \mathrm{inf} X = { x }_{ 1 } = \frac { 1 }{ 2 } .
Последовательность { \left\{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } \right\} }_{ 1 }^{ \infty } является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
{ x }_{ n }=\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 8 } +\dots +\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n } \right) }{ 1-\frac { 1 }{ 2 } } =1-{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n }
Следовательно, \mathrm{sup} X = \lim\limits_{ n\to \infty }{ x } _{ n }=\lim\limits_{ n\to \infty } 1-{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n }=1-0=1 .
  1. Коляда В. И. Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч. 1 / В. И. Коляда, А. А. Кореновский. — Одесса: Астропринт, 2009. — 369 с., стр. 6-9
  2. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1: учеб. пособие / Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабутин. — 2-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 496 с., стр. 19-21
  3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1 / Л. Д. Кудрявцев. — М.: ДРОФА, 2003. — 703 с., стр. 68-78
  4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3-х т. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — М.: Наука, 1962. — 648 с., стр. 25-28
  5. Тер-Крикоров А. М., Курс математического анализа / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабутин. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с., стр. 15-20
  6. Ильин В. А. Основы математического анализа: в 2-х ч. Ч. 1: Учеб.: Для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — М.: Наука, 2005. — 648 с., стр. 46 — 47

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *