Вернуться к: Математический анализ I

Определение.Последовательность $\left\{ x_{ n } \right\}$ называется бесконечно малой, если $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ \left\{ x_{ n } \right\} = 0}$

Легко видеть, что последовательность $\left\{ \alpha _{ n } \right\}$ сходится к числу $a$ тогда и только тогда, когда последовательность $\alpha _{ n }=x_n - a$ бесконечно малая.Используя это, можно дать следующее равносильное определение предела.

Определение.Число a называется пределом последовательности $\left\{ x_{ n } \right\}$ , если последовательность $\left\{ x_{ n }-a \right\}$ бесконечно малая.

Замечание. Следует, однако, понимать, что при таком определении предела нужно отдельно определять понятие бесконечно малой последовательности, а
именно, бесконечно малой называть такую последовательность $\left\{ x_{ n } \right\}$ что для любого $\varepsilon >0$ найдется номер $N=N_{ (\varepsilon )}\in \mathbb {N} \$ , такой, что при любом $n\ge N$ справедливо неравенство $\left| x_{ n } \right| <\varepsilon$ .

Теорема (Свойства бесконечно малых).
1). Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями.
2). Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.

Свойство 1) следует из арифметических свойств пределов .
Докажем 2). $\left\{ \alpha _{ n } \right\}$ — бесконечно малая, а $\left\{ x_{ n } \right\}$ — ограниченная последовательности. Обозначим $\beta _{ n }=x_{ n }\alpha_n$ .Поскольку $\left\{ x_{ n } \right\}$ ограничена то
существует такое $A > 0$ , что $\left| x_{ n } \right| \le A$ при любом $n\in \mathbb {N}$ . Зададим $\varepsilon>0$ и, пользуясь тем, что $\left\{ \alpha _{ n } \right\}$ бесконечно малая, найдем такой номер $N$ что
при всех $n\ge N$ справедливо неравенство $\left\{ \alpha _{ n } \right\} >\frac { \varepsilon }{ A }$ . Тогда для $n\ge N$ получим $\left| \beta _{ n } \right| =\left| \alpha _{ n } \right|$ , $\left| x_{ n } \right| \le \left| \alpha _{ n } \right| A\le \varepsilon$ , а это и означает, что последовательность $\{ \beta _{ n }\}$ — бесконечно малая.

Бесконечно большие последовательности.

Выше мы показали, что каждая сходящаяся последовательность ограничена. Иначе говоря, всякая неограниченная последовательность расходится. Мы выделим некоторые специальные классы неограниченных последовательностей.

Определение.Говорят, что последовательность $\left\{ x_{ n } \right\}$ стремится к $+\infty$ , , если для любого действительного числа $M$ найдется номер $N$ , зависящий, вообще говоря, от $M$ , такой, что для всех $n\ge N$ справедливо неравенство $x_{ n }>M$ . В этом случае пишут $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ x_n }=+\infty$ , или ${ x_n }\rightarrow +\infty$ при $n\rightarrow \infty$ .Говорят что последовательность $\left\{ x_{ n } \right\}$ стремится к $-\infty$ , если для любого действительного числа $M$ найдется номер $N$ , зависящий, вообще говоря, от $M$ , такой, что для всех $n\ge N$ справедливо неравенство $x_{ n }<-M$ . В этом случае пишут $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ x_{ n } } =-\infty$ , или $x_{ n }\rightarrow -\infty$ при $n\rightarrow \infty$ .Последовательность $\left\{ x_{ n } \right\}$ называется бесконечно большой, если модули ее элементов стремятся $+\infty$ , т. е. если для любого $M$ найдется номер $N$ , такой, что для всех $n\ge N$ справедливо неравенство ${ \left| x_{ n } \right| }>M$ . Обозначают это так: $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ x_{ n } } =\infty$ , или $x_{ n }\rightarrow \infty$ при $n\rightarrow \infty$ .

Замечание. Ясно, что каждое из условий $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{x_n} = + \infty$ , или $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty } { x_{n}} = - \infty$ влечет $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty } {x_ {n}} = \infty$ . Обратное неверно. Например, последовательность $x_{n} ={ (-1) }^{ n }n$ стремится к $\infty$ , но не стремится ни к $+ \infty$ , ни к $-\infty$ .Напомним, что неограниченная последовательность $\left\{ x_{ n } \right\}$ – это такая, что для любого $M$ найдется такой номер $n$ , что $\left| x_n \right| >M$ . Ясно, что каждая бесконечно большая последовательность неограничена, но обратное неверно. Например, последовательность $x_{ n }={ n }^{ { (-1) }^{ n } }$ неограничена, но не является бесконечно большой.

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями устанавливает следующее.

Утверждение.
Пусть $x_{ n }\neq 0(n\quad =\quad 1,2,...)$ . Тогда последовательность $\left\{ x_{ n } \right\}$ бесконечно большая в том и только в том случае, когда последовательность $\alpha _{ n }=\frac { 1 }{ x_n }$ .

Доказательство этого утверждения следует сразу из эквивалентности двух следующих неравенств: $\left| \alpha _{ n } \right| <\varepsilon$ и $\left| x_{ n } \right| =\left| \frac { 1 }{ \alpha _{ n } } \right| >\frac { 1 }{ \varepsilon }$ . Например, если $x_{ n }$ — бесконечно большая, то для заданного $\varepsilon>0$ найдем такой номер $N$ , что для всех $n\ge N$ справедливо неравенство $\left| x_{ n } \right| >\frac { 1 }{ \varepsilon }$ . Тогда для $n\ge N$ будем иметь $\left| \alpha _{ n } \right| =\left| \frac { 1 }{ x_{ n } } \right| <\varepsilon$ , а это значит, что последовательность $\left| \alpha _{ n } \right|$ бесконечно малая. Доказательство обратного утверждения аналогично.

Некоторые виды неопределенностей.
Пусть $x_{ n }\rightarrow +\infty ,\quad y_{ n }\rightarrow +\infty$ . Тогда легко убедиться в том, что $x_{ n }+y_{ n }\rightarrow+\infty$ и $x_{ n } y_{ n }\rightarrow +\infty$ . Однако, об $x_{n} -y_ {n}$ ничего определенного сказать нельзя. Так, например, если $x_{n} = {n} ^ {2} \rightarrow +\infty$ , $y_ {n} = n \rightarrow + \infty$ , то $x_{n} -y_ {n} = {n} ^ {2} -n \ge n (n \ge 2)$ и $x_{n} -y_ {n} \rightarrow + \infty$ . Для $x_{n} = n,\quad y_{n} = {n} ^ {2}$ имеем $x_{ { n } }-y_{ { n } }=n-{ n }^{ { 2 } } -n$ и $x_{n} -y_{n} \rightarrow - \infty$ . Если же $x_{n} = n\rightarrow + \infty,\quad y_ {n} = n + {(-1)} ^ {n} \ \rightarrow + \infty$ , то последовательность $x_ {n} -y_ {n} = {(-1)} ^ {n + 1}$ не имеет предела.

Говорят, что разность двух стремящихся к $+\infty$ последовательностей составляет неопределенность вида $\left[ (+\infty )-(+\infty ) \right]$ .Другой вид неопределенности $\left[ \frac { \infty }{ \infty } \right]$ — отношение двух стремящихся к $\infty$ последовательностей, т. е. $\frac { x_{ n } }{ y_{ n } }$ , где $x_{ n }\rightarrow \infty ,\quad y_{ n }\rightarrow \infty$ . В самом деле, для $x_{ n }={ n }^{ 2 },\quad y_{ n }=n$ имеем $\frac { x_{ n } }{ y_{ n } } =n\rightarrow \infty ,\quad \frac { y_{ n } }{ x_{ n } } =\frac { 1 }{ n } \rightarrow 0$ . Если же $x_{ n }=(2+{ (-1) }^{ n })n,\quad y_{ n }=n$ , то отношение $\frac { x_{ n } }{ y_{ n } } =2+{ (-1) }^{ n }$ , очевидно, не имеет предела.

Так как обратная к бесконечно большой является бесконечно малой последовательностью, то получаем еще такие виды неопределенностей: $\left[ 0\cdot \infty \right] =\left[ \frac { 1 }{ \infty } \cdot \infty \right] =\left[ \frac { \infty }{ \infty } \right] =\left[ \frac { 0 }{ 0 } \right]$ .

Условие.
1.Предполагая, что $n$ пробегает натуральный ряд чисел, определить значение выражение:
$\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ (\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } } +\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } + \ldots +\frac { n-1 }{ { n }^{ 2 } } )$ .

Решение.
Приведем дроби к общему знаменателю $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ ( } \frac { 1+2+ \ldots +n-1 }{ { n }^{ 2 } } )$ ,
далее заметим что в числители у нас образуется сумма арифметической прогрессии, вычислим ее по формуле $S_{ n }=n(\frac { a_{ 1 }+a_{ n } }{ 2 } )$ , получается $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { n(n-1) }{ { 2n }^{ 2 } } }$ , раскрыв скобки получим $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { n }^{ 2 }-n } }{ { 2n }^{ 2 } } }$ , как можно заметить степени числителя и знаменателя одинаковы, значит в переделе получится отношение старших коэффициентов $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { { n }^{ 2 }-n } }{ { 2n }^{ 2 } } } = \frac { 1 }{ 2 }$

Условие.
2.Вычислить предел $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ (\sqrt { 2 } \sqrt [ 4 ]{ 2 } \sqrt [ 8 ]{ 2 } \ldots \sqrt [ { 2 }^{ n } ]{ 2 } ) }$

Решение.
Перепишем это в таком виде $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ ({ 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } + \ldots +\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } }) }$ , степень двойки образует арифметическую прогрессию, значит вместо $\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } + \ldots +\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } }$ мы запишем $\frac { \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } } }{ 1-\frac { 1 }{ 2 }}$ и упростим, получается: $1+\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } }$ — это стремиться к $1$ тогда $\Longrightarrow$ $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ 2 } ^{ 1 }= 2$

Условие.
3.Вычислить предел $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \sqrt [ 3 ]{ { n }^{ 2 } } \sin { { n! } } }{ n+1 } }$

Решение.
${ \frac { \sqrt [ 3 ]{ { n }^{ 2 } } }{ n+1 } }$ — степень числителя меньше степени знаменателя, значит это бесконечно малая последовательность при $n\rightarrow \infty$ , $\sin { { n! } }$ — ограниченная, а по свойству бесконечно малых, произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая, из этого следует что $\lim\limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \sqrt [ 3 ]{ { n }^{ 2 } } \sin { { n! } } }{ n+1 } } = 0$

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Бесконечно большие последовательности.

Добавить комментарий Отменить ответ