Лемма Кантора о вложенных отрезках

Вернуться к: Математический анализ I

Эта лемма играет чрезвычайно важную роль в анализе. Ее доказательство основано на применении теоремы о существовании верхней грани, которое, в свою очередь, базируется на аксиоме полноты множества действительных чисел. По сути дела, эта лемма эквивалентна аксиоме полноты. Это означает, что при аксиоматическом определении системы действительных чисел вместо аксиомы полноты можно было бы постулировать справедливость леммы Кантора.

Лемма Кантора (о вложенных отрезках). Пусть последовательность отрезков $I_{n} \left(n = 1, 2, \ldots \right)$ такова, что $I_{n+1}\subset I_{n}$ $\left( n = 1, 2, \ldots \right)$ . Тогда существует точка c, принадлежащая всем отрезкам $I_{n}$ . Если дополнительно предположить, что длины $\left|I_{n}\right|$ отрезков с $I_{n}$ стремятся к нулю при $n \to \infty$ , то такая точка c единственная.

Пусть $I_{n} = \left[a_{n}, b_{n}\right]$ . Покажем, что $\forall m, n$ справедливо неравенство $a_{n} \le b_{m}$ . В самом деле, если $a_{n} > b_{m}$ , то отсюда следует, что отрезки $\left[a_{n}, b_{n}\right]$ и $\left[a_{m}, b_{m}\right]$ не имеют общих точек, что невозможно, т. к. по условию леммы отрезок с большим номером содержится в отрезке с меньшим номером.
Обозначим через $E$ множество всех левых концов отрезков $I_{n}$ , т. е. $E = \{ a_{1}, a_{2}, \ldots \}$ . Как только что показано, это множество E ограничено сверху, например, числом $b_{1}$ . Обозначим $c = \sup{E}$ . Из определения верхней грани следует, что для всех $n = 1, 2, \ldots$ справедливо неравенство $a_{n} \le c$ . С другой стороны, $\forall n \in \mathbb{N}$ имеем $c \le b_{n}$ , поскольку каждое $b_{n}$ , как показано выше, является верхней границей множества $E$ , а $c$ – наименьшая из всех верхних границ множества $E$ .
Итак, $\forall n \in \mathbb{N}$ справедливо неравенство $a_{n} \le c \le b_{n}$ , а это и означает, что $c \in I_{n}$ .
Предположим теперь, что длины отрезков $I_{n}$ стремятся к нулю, и докажем, что полученная точка c единственна. В самом деле, если предположим, что существуют две различные точки $c' < c''$ , принадлежащие всем отрезкам $I_{n}$ , то получим $a_{n} < c' < c'' \le b_{n}$ $\left(n = 1, 2, \right)$ . Отсюда следует, что $b_{n} - a_{n} \ge c'' - c' > 0$ , а это противоречит тому, что длины $b_{n} - a_{n}$ отрезков $I_{n}$ стремятся к нулю.

Замечание 1. Если в условии леммы Кантора длины отрезков не стремятся к нулю, то легко показать, что целый отрезок $\left[c, c'\right]$ , где $c = \sup{ \{ a_{1} , a_{2}, \ldots \} }$ , $c' = \inf{ \{b_{1}, b_{2}, \ldots \} }$ , содержится в каждом $I_{n}$ .

Замечание 2. Лемма Кантора теряет силу, если в ее формулировке отрезки заменить интервалами. В самом деле, легко видеть, что последовательность вложенных друг в друга интервалов $\left(0, \frac{1}{n} \right)$ не имеет общих точек, поскольку $\bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} \left(0, \frac{1}{n} \right) = \varnothing$ .

Пример 1.

Показать, что множества последовательности $\{ I_{n} \}_{n=1}^{+\infty}$ , где $I_{n} = \left( -\frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right)$ , содержат общую точку несмотря на то, что последовательность не удовлетворяет условиям леммы Кантора.

Решение.

Действительно, множества $I_{n}$ , указанные в условии, не являются отрезками и не могут удовлетворять условиям леммы Кантора. Тем не менее, каждое множество является вложенным в предыдущее. Рассмотрим множества $I_{n}$ при $n = \overline{1, +\infty}$ : $\left( -1; 1 \right)$ , $\left( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right)$ , $\left( -\frac{1}{3}; \frac{1}{3} \right)$ , $\ldots$ , $\left( -\frac{1}{100}; \frac{1}{100} \right)$ , $\left( -\frac{1}{101}; \frac{1}{101} \right)$ , $\left( -\frac{1}{102}; \frac{1}{102} \right)$ , $\left( -\frac{1}{103}; \frac{1}{103} \right)$ , $\ldots$ , $\left( -\frac{1}{10^{100}}; \frac{1}{10^{100}} \right)$ , $\left( -\frac{1}{10^{100}+1}; \frac{1}{10^{100}+1} \right)$ , $\ldots$ . Очевидно, что независимо от того, насколько большое значение $n$ будет взято, интервал $\left( -\frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right)$ будет содержать точку $0$ $\forall n \in \overline{1, +\infty}$ , но для любой точки из окрестности $0$ найдётся достаточно малый интервал, не содержащий её, поэтому $\bigcap\limits_{n = 0}^{+\infty} I_{n} = \{ 0 \}$ .

Пример 2.

Показать, что множества последовательности $\{ I_{n} \}_{n=1}^{+\infty}$ , где $I_{n} = \left( \alpha; \alpha+\frac{\beta}{n} \right)$ , $\beta > 0$ , $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ , не содержат общих точек.

Решение.

Возьмём произвольную точку $k \in \left( \alpha, \beta \right) = I_{1}$ . Очевидно, что если взять достаточно большое $m \in \mathbb{N}$ такое, что $\frac{\beta}{m} < k$ , то интервал $I_{m}$ не будет содержать точку $k$ , поскольку $\frac{1}{m}$ — правая граница $I_{m}$ . Но так как точка $k$ — произвольная точка интервала $I_{1}$ , то аналогичные рассуждения справедливы для всех точек на нём, из чего немедленно следует, что все интервалы $I_{n}$ , $n=\overline{1, +\infty}$ не имеют общих точек. Поэтому $\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty}I_{n} = \varnothing$ .

Пример 3.

Показать, что последовательность $\{ I_{n} \}_{n=1}^{+\infty}$ , где $I_{n} = \left[ \alpha; \alpha+\frac{\beta}{n}+\left(\frac{\gamma}{n}\right)^2 \right]$ , $\beta > 0$ , $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ удовлетворяет всем условиям леммы Кантора, что все множества этой последовательности и содержат единственную общую точку.

Решение.

Прежде всего, указанные множества являются отрезками. Далее, в силу того, что в сумме $\alpha+\frac{\beta}{n}+\left(\frac{\gamma}{n}\right)^2$ слагаемые $\frac{\beta}{n}$ и $\left(\frac{\gamma}{n}\right)^2$ с ростом $n$ стремятся к нулю, $I_{n} \subset I_{n-1}$ $n = \overline{2, +\infty}$ . При этом, слагаемое $\alpha+\frac{\beta}{n}+\left(\frac{\gamma}{n}\right)^2$ будет стремится к $\alpha$ — левому концу всех отрезков. Следовательно, с ростом $n$ длины отрезков стремятся к нулю. Поэтому очевидно, что данная последовательность множеств удовлетворяет условиям леммы Кантора, и легко показать, что $\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty}I_{n} = \{ \alpha \}$ .

Добавить комментарий Отменить ответ