Система действительных чисел

Еще со школьного курса известно, что многие операции невыполнимы в рамках множества рациональных чисел. Примером может служить следующее

Предложение. Не существует рационального числа  \frac{p}{q} (  p– целое,  q – натуральное), квадрат которого равен 2.
Предположим, что такие p и  q существуют. Можем считать, что хотя бы одно из них нечетное, иначе их можно сократить. Но тогда \frac{p^{2}}{q^{2}}=2, а значит, p^{2}= 2q^{2}. Отсюда следует, что  p четное, т.е.p=2r, где r — целое. Поэтому (2r)^{2}=2q^{2} и, следовательно, q^{2} также четное. Значит, q является четным, что противоречит сделанному предположению.Полученное противоречие доказывает утверждение.

Итак, мы приходим к необходимости расширять множество рациональных чисел, т.е. вводить новые числа, которые называют иррациональными. Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называют множеством, или системой, действительных чисел.

Существует несколько различных способов построения системы действительных чисел. Так, исходя из множества рациональных чисел и их свойств, немецкий математик Р.Дедекинд в конце XIX в. предложил построение системы действительных чисел, используя так называемые сечения во множестве рациональных чисел. Используя построение Дедекинда, Пеано разработал аксиоматическую теорию чисел исходя из пяти аксиом натуральных чисел. С этой теорией подробно можно ознакомиться в книге Э.Ландау «Основы анализа», М., ИЛ, 1947.

Другой распространенный способ построения системы действительных чисел основан на применении десятичных (или же по какому-либо другому основанию) дробей. При этом способе построения действительными числами называются бесконечные десятичные дроби, среди которых периодические дроби составляют множество рациональных чисел, а непериодические дроби – иррациональные числа. Такой способ выгоден тем, что он является конструктивным и, кроме того, в наибольшей степени соответствует интуитивному понятию действительного числа. Этот способ изложен, например, в книге Ильина и Позняка.

Некоторые авторы для построения системы действительных чисел применяют так называемые фундаментальные последовательности рациональных чисел. При этом действительным числом называется каждая такая последовательность. Мы рассмотрим аксиоматическое построение системы действительных чисел. Множеством (системой) действительных чисел мы назовем произвольную совокупность объектов, обладающих рядом свойств, называемых аксиомами, т.е. свойствами, которые предполагаются выполненными и не требующими доказательства. Такой способ наиболее естественный с философской точки зрения, т.к. числа суть абстракции, выражающие количественные отношения вещей. Названные выше способы построения действительных чисел – это способы реализации этих абстракций, т.е. представление их формальными символами.

Определение.Системой действительных чисел называется непустое множество \mathbb{R}, обладающее следующими свойствами:

  1. На  \mathbb{R} определены соотношения порядка  <, >, =, обладающие такими свойствами:
    • для каждой пары действительных чисел a и b имеет место одно, и только одно из следующих трех соотношений: a<b, a>b, a=b ;
    • из условий a < b, b < c следует, что a <c (это свойство называется транзитивностью неравенств).
  2. Группа аксиом сложения и умножения предполагает определение
    на \mathbb{R} операций сложения и умножения, удовлетворяющих следующим аксиомам:

    • для любых a,b\in \mathbb{R} справедливо равенство a + b = b + a (свойство коммутативности сложения);
    • для любых a,b\in \mathbb{R} справедливо равенство  a + (b + c) = (a + b) + c (свойство ассоциативности сложения);
    • во множестве \mathbb{R} существует элемент 0, называемый нулем, нейтральный по отношению к сложению, т.е. такой, что для любого a \in \mathbb{R} справедливо равенство a + 0 = a ;
    • для любого a \in \mathbb{R} во множестве \mathbb{R} имеется элемент -a, называемый противоположным, такой, что  a + (-a) = 0;
    • если  a<b, то для любого c \in \mathbb{R} справедливо неравенство a+c < b+c;
    • для любых a,b \in \mathbb{R} справедливо равенство a \cdot b = b \cdot a (свойство коммутативности умножения);
    • для любых a,b,c \in \mathbb{R} справедливо равенство a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c (свойство ассоциативности умножения);
    • во множестве \mathbb{R} существует элемент  1, отличный от 0, называемый единицей, нейтральный по отношению к умножению, т.е. такой, что для любого a \in \mathbb{R} справедливо равенство a \cdot 1 = a;
    • для любого a \in \mathbb{R} , a \neq 0 во множестве \mathbb{R} имеется элемент  \frac{1}{a}, называемый обратным, такой, что a\cdot \frac{1}{a}=1 ;
    • для любых a,b \in \mathbb{R}, таких, что  a < b, и для любого c > 0 справедливо неравенство a \cdot c < b \cdot c, а для  c < 0 справедливо неравенство  a \cdot c > b \cdot c;
    • для любых a,b,c \in \mathbb{R} справедливо равенство  (a + b)\cdot c = a \cdot c + b \cdot c (дистрибутивный закон).
  3. Если непустые подмножества X, Y \subset \mathbb{R} такие, что для любого x \in X и для любого y \in X справедливо неравенство  x \leq y, то найдется такое  c \in \mathbb{R}, что неравенство  x \leq c \leq y справедливо для любых  x \in X,  y \in Y.

Последняя аксиома означает, что во множестве действительных чисел нет пробелов. Она называется свойством полноты множества действительных чисел.

  1. Ландау.Э Основы анализа/Ландау.Э.;[пер. с нем. Д.А.Райкова]. — Москва: Государственное издательство иностранной литературы, 1947 — 183 с., стр 19-39
  2. Ильин В. А. Основы математического анализа:В 2-х ч. Часть I: Учеб.: Для вузов/Ильин В. А., Позняк Э. Г. — 7-е изд. — Москва.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с. стр. 37-50
  3. Коляда В. И. Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч. 1 / В. И. Коляда, А. А. Кореновский. — Одесса: Астропринт, 2009.-XXVII — 369 с., стр. 1-4

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *