Натуральные числа

Вернуться к: Математический анализ I

Определение. Множество $A$ называется индуктивным, если для любого $a \in A$ элемент $a + 1$ также принадлежит множеству $A.$

Легко показать, что пересечение любого семейства индуктивных множеств является индуктивным множеством, если оно не пусто.

Определение. Множеством натуральных чисел $N$ называется пересечение всех индуктивных множеств, содержащих $1.$

Из определения множества натуральных чисел следует
Принцип математической индукции. Пусть $N^{\ast }$ – непустое подмножество натуральных чисел, обладающее следующими свойствами:
1) $1 \in N^{\ast },$
2) для любого $x \in N^{\ast }$ элемент $x + 1$ также принадлежит $N^{\ast }.$
Тогда $N^{\ast }=\mathbb{N}.$
Принцип математической индукции является одним из важнейших свойств натуральных чисел. При аксиоматическом определении множества натуральных чисел принцип математической индукции формулируется в качестве аксиомы. Принцип математической индукции лежит в основе доказательства многих утверждений. Метод доказательства, основанный на применении принципа математической индукции, называется методом математической индукции.

Задание №1. Доказать, что для всех натуральных чисел $n$ справедливо неравенство $n \leq 2^{n}.$

Решение.Для доказательства применим метод математической индукции. Пусть $N^{\ast }$ – множество тех натуральных $n,$ для которых это неравенство имеет место. При $n = 1$ оно принимает вид $1 \leq 2,$ т. е. оно справедливо.
Предположим, что требуемое неравенство имеет место при некотором $n$ (т. е. что $n \in N^{\ast }$ ) и покажем, что оно же справедливо и для $n + 1$ (т. е., что $n + 1 \in N^{\ast }$ ). Другими словами, нужно показать, что условие $n \leq 2^{n}$ влечет выполнение неравенства $n + 1 \leq 2^{n+1}.$ Складывая предположение индукции $n \leq 2^{n}$ с очевидным неравенством $1 \leq 2 \leq 2^{n},$ находим: $n + 1 \leq 2^{n} + 2^{n} = 2^{n+1},$ что и требовалось доказать.

Задание №2. Методом математической индукции докажите, что для любого натурального $n$ и для любых действительных $a$ и $b$ справедлива формула бинома Ньютона $(a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+\ldots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k},$ где $C_{n}^{k}=\frac {n!}{k!(n-k)!},$ а $k! = 1, 2, \ldots ,k$ при $k \in \mathbb{N}$ и $0! = 1.$

Решение. 1) Для $n=1 :$
$a+b=C_{1}^{0}a^{1-0}b^{0}+C_{1}^{1}a^{1-1}b^{1}=a*1+b*1=a+b.$
Для $n=1$ утверждение выполняется.
2) Предположим, что утверждение выполняется для $n=k.$
$(a+b)^{k}=C_{k}^{0}a^{k-0}b^{0}+C_{k}^{1}a^{k-1}b^{1}+C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+C_{k}^{k}a^{0}b^{k}=a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\ldots+C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+b^{k}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}.$
3) Докажем верность формулы для $n=k+1.$
Докажем, что $(a+b)^{k+1}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k}^{i}a^{k+1-i}b^{i}.$
$(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}=(a+b)\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k+1-i}b^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}$
Вынесем слагаемое при $i=0$ из первой суммы:
$\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k+1-i}b^{i} = a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k+1-i}b^{i}$
Вынесем слагаемое при $i=k$ из последней суммы:
$\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=b^{k+1} + \sum\limits_{i=0}^{k-1}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k+1-i}b^{i}$
Прибавим данные суммы:
$a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k+1-i}b^{i}+b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k+1-i}b^{i}=a^{k+1}+b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}(C_{k}^{i}+C_{k}^{i-1})a^{k+1-i}b^{i}=\sum\limits_{i=0}^{0}C_{k+1}^{i}a^{k+1-i}b^{i}+\sum\limits_{i=k+1}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k+1-i}b^{i}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k+1}^{i}a^{k+1-i}b^{i}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k+1-i}b^{i}$
Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий Отменить ответ