Абсолютная величина

Понятие абсолютной величины тесно связано с понятием противоположного числа.

Определение. Абсолютной величиной (модулем) числа a называется величина

$\left | a \right |=\left\{\begin{matrix}a, a\geq 0, & \\-a, a< 0&\end{matrix}\right.$

Свойства абсолютной величины.

Неравенство $\left | a \right |\leq b$ , $(b\geq 0)$ справедливо тогда и только тогда, когда $-b\leq a\leq b$ .
Для любых $a,b\in \mathbb{R}$ справедливо равенство $\left | ab \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |$ .
Для любых $a,b\in \mathbb{R}$ справедливо неравенство $\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$ .
Для любых $a,b\in \mathbb{R}$ справедливо неравенство $\left | a+b \right |\geq \left | a \right |-\left | b \right |$ .

Доказательство этих свойств рекомендуется провести самостоятельно.

Эквивалентное определение ограниченного множества.

Напомним, что выше мы назвали множество $E\subset \mathbb{R}$ ограниченным, если существуют такие числа $m,M\in \mathbb{R}$ , что для любого $x\in \mathbb{R}$ справедливо неравенство $m\leq x\leq M$ .

Определение. Множество $E\subset \mathbb{R}$ называется ограниченным, если существует такое действительное число $A$ , что для любого $x\in E$ справедливо неравенство $\left | a \right |\leq A$ .

Для доказательства эквивалентности этого определения данному ранее определению достаточно для известного $A$ положить $m=-A$ , $M=A$ , а при данных $m$ и $M$ взять $A=\max(\left | M \right |,\left | m \right |)$ .

Примеры некоторых стандартных множеств:

Интервал $(a,b)=\left \{ x\in \mathbb{R}:a\leq x< b \right \}$ .
Отрезок (сегмент) $\left [ a,b \right ]= \left \{ x\in \mathbb{R}: a\leq x\leq b \right \}$ .
Полуинтервал открытый слева (справа) (замкнутый справа (слева)) $\left ( a,b \right ]=\left \{ x\in \mathbb{R}:a< x\leq b \right \}$ $(\left [ a,b \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}:a\leq x< b \right \})$ .
Окрестность точки $c\in \mathbb{R}$ – любой интервал, содержащий $c$ .
$\varepsilon$ -окрестность точки $c\in \mathbb{R} \left ( c-\varepsilon ,c+\varepsilon \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}:\left | x-c \right |< \varepsilon \right \} \left ( \varepsilon > 0 \right )$ .
Проколотая окрестность (проколотая $\varepsilon$ -окрестность) точки $c\in \mathbb{R}$ $\left ( a,c \right )\cup \left ( c,b \right ) \left ( \left ( c-\varepsilon , c \right )\cup \left ( c, c+\varepsilon \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}:0< \left | x-c \right |<\varepsilon \right \} \right )$ .
$\mathbb{R}=\left ( -\infty,+\infty \right )$ .
Полупрямая $\left [ a,+\infty \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}: x\geq a \right \}, \left ( -\infty ,b \right ]=\left \{ x\in \mathbb{R}:x\leq b \right \}$ , открытая полупрямая $\left ( a,+\infty \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}:x > a \right \}$ называется также окрестностью $+\infty$ , открытая полупрямая $\left ( -\infty ,b \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}:x< b \right \}$ называется также окрестностью $-\infty$ .
Окрестность бесконечности $\left ( -\infty ,a \right )\cup \left ( b,+\infty \right )$ , $M$ -окрестность бесконечности $\left ( -\infty ,M \right )\cup \left ( M,+\infty \right )=\left \{ x\in \mathbb{R}:\left | x \right |> M \right \}$ .

Задание 1. Найдите решения неравенства $1\leq \left | x-2 \right |\leq 5.$

Запишем двойное неравенство в виде системы:
$\left\{\begin{matrix}\left | x-2 \right |\geq 1,\\ \left | x-2 \right |\leq 5\end{matrix}\right.$
Первое неравенство равносильно системе неравенств
$\left\{\begin{matrix} x-2 \geq 1,\\x-2\leq -1\end{matrix}\right.$
Решив эту систему, получим $x\in \left ( -\infty;1 \right ]\cup \left [ 3;+\infty \right ).$
Также поступим со вторым неравенством:
$\left\{\begin{matrix}x-2\leq 5,\\ x-5\geq -5\end{matrix}\right.$
Имеем, $x\in \left [ -3;7 \right ].$
Объединив ответы, получим $x\in \left [ -3;1 \right ]\cup \left [ 3;7 \right ].$

Задание 2. Решите систему уравнений
$\left\{\begin{matrix}\left | x+1 \right |-\left | y+2 \right |=-2,\\ \left | x-2 \right |+2y=3\end{matrix}\right.$

Выразим из второго уравнения системы y и подставим в первое: $\left | x+1 \right |-\left | \frac{3-\left | x-2 \right |}{2}+2\right |=-2$ . Избавимся от дроби, домножив обе части 2 и от внешнего модуля, записав следующую систему:
$\left\{\begin{matrix}3-\left | x-2 \right |+4=4+2\cdot \left | x+1 \right |,\\ 3-\left | x-2 \right |+4=-\left ( 4+2\cdot \left | x+1 \right | \right )\end{matrix}\right.$
Для решения воспользуемся методом интервалов. Найдем подмодульные корни: $x_{1}=-1$ , $x_{2}=2.$
Рассмотрим решение системы на каждом из промежутков:

$x\leq -1$

Запишем образовавшуюся систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix}-\left ( x-2 \right )-2\cdot \left ( x+1 \right ) = 3,\\ -2\cdot \left ( x+1 \right )+\left ( x-2 \right )=-11\end{matrix}\right.$
Найдем корни: $x_{1}=-1,~x_{2}=1.$ Второй корень не входит в заданный промежуток, поэтому решение одно $x_{1}=-1$

$-1< x\leq 2$

Следуем тому же алгоритму:
$\left\{\begin{matrix}-\left ( x-2 \right )+2\cdot \left ( x+1 \right )=3,\\ 2\cdot \left ( x+1 \right )+\left ( x-2 \right )=-11\end{matrix}\right.$
Найдем решение: $x_{1}=-1,~x_{2}=-\frac{11}{3}.$ Второй корень не входит в заданный промежуток, поэтому решение одно $x_{1}=-1$

$x>2$

Запишем систему:
$\left\{\begin{matrix}\left ( x-2 \right )+2\cdot \left ( x+1 \right )=3,\\ 2\cdot \left ( x+1 \right )-\left ( x-2 \right )=-11\end{matrix}\right.$
Найдем корни: $x_{1}=1,~x_{2}=-7.$ Ни один из найденных корней не входит в данный промежуток: данная система не имеет решений
Решением является $x=-1.$
Подставим в уравнение с $y$ : $y=\frac{3-\left | x-2 \right |}{2}$
Получим $y=0.$
Запишем ответ: $\left ( -1;0 \right ).$

Добавить комментарий Отменить ответ