Определение и элементарные свойства

Вернуться к: Математический анализ I

Последовательность – это функция натурального аргумента. Если каждому натуральному числу $n$ поставлено в соответствие действительное число $x_n$ , то говорят, что задана последовательность ${x_n}$ . Иначе последовательность обозначают так: $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$ Число $x_n$ называется $n$ -м элементом (или $n$ -м членом) последовательности. Элементы последовательности считаются различными, даже если они равные, но имеют разные номера. Например, последовательность $1, 1, \ldots$ , у которой все $x_n = 1$ . Последовательность может быть задана формулой, которая по заданному $n$ позволяет вычислить значение $x_n$ , например, $\frac{(-1)^{n+1}}{2}$ . Можно задавать последовательность рекуррентно, т.е. указывать закон, по которому каждый следующий элемент вычисляется по известным предыдущим, например, арифметическая $x_{n+1} = x_n +d$ , или геометрическая $x_{n+1} = x_n q$ прогрессии (при этом нужно определить один или несколько первых элементов). Можно задавать последовательность описанием ее элементов, например, $x_n$ – $n$ -й десятичный знак после запятой у числа $\pi$ .

Определение. Число $a$ называется пределом последовательности { $x_n$ }, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется номер $N$ , зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$ , такой, что для всех номеров $n \ge N$ выполняется неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$ . В этом случае пишут $x_n \to a (n \to \infty)$ , или $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$ .В кванторах это определение выглядит следующим образом: $\lim\limits_{n \to \infty} = a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \: \exists \: N \equiv N_\varepsilon : \forall n \ge N \left|x_n- a \right| < \varepsilon$ .

Если последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится. В противном случае говорят, что последовательность расходится. Для того чтобы выяснить геометрический смысл предела последовательности, перепишем неравенство $\left|x_n - a \right| < \varepsilon$ в таком эквивалентном виде $a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon$ . Тогда понятно, что что с геометрической точки зрения равенство $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$ означает, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера $N_\varepsilon$ , зависящего от $\varepsilon$ , находятся в $\varepsilon$ — окрестности точки $a$ . Вне этой окрестности находится, быть может, лишь конечное число элементов, а именно, те $x_n$ , номера $n$ которых меньше, чем $N_\varepsilon$ . В терминах окрестностей определение предела можно переформулировать следующим образом.

Определение. Число $a$ называется пределом последовательности ${x_n}$ , если для любой $\varepsilon$ -окрестности $\:U_\varepsilon(a)$ числа $a$ найдется такой номер $N_\varepsilon$ , начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, т. е. $\forall U_\varepsilon(a) \: \exists N : \forall n \ge N, x_n \in U_\varepsilon(a)$ .

Пример 1. Пусть $x_n = a (n = 1, 2, \ldots)$ . Такая последовательность называется стационарной. Ясно, что $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$ .

Пример 2. Пусть $x_n=\frac{(-1)^n} {n}$ . Покажем, что $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$ . Зададим $\varepsilon>0$ и рассмотрим неравенство $|\frac{(-1)^n} {n} -0|$ = $\frac{1} {n} < \varepsilon$ . Оно выполняется, если только $n > \frac{1} {\varepsilon}$ . Положим $N = \left[\frac{1} {\varepsilon} \right] + 1$ , где $[b]$ означает целую часть числа $b$ . Тогда из неравенства $n \ge N$ следует, что $n > \frac{1} {\varepsilon}$ , а значит, $\left|\frac{(-1)^n} {n} -0 \right| = \frac{1} {n} < \varepsilon$ . Таким образом, мы показали по определению, что число $a = 0$ является пределом последовательности $x_n$ .

Пример 3. Покажем, что $\lim\limits_{n\to\infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = 0$ . Зададим $\varepsilon>0$ . Тогда получим, что неравенство $|(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})-0|=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ $=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}} < \varepsilon$ справедливо, если только $n > \frac{1}{\varepsilon^2}$ . Поэтому достаточно взять $N = \left[\frac{1}{\varepsilon^2}\right] +1$ .

Замечание. При доказательства равенства $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$ по определению не требуется находить наименьший номер $N$ , начиная с которого выполняется неравенство $|x_n- a | < \varepsilon$ . Достаточно указать лишь какой- нибудь номер $N_\varepsilon$ , начиная с которого $|x_n - a| < \varepsilon$ .

Отрицание определения предела. Число $a$ не является пределом последовательности { $x_n$ }, если найдется такое положительное $\varepsilon$ , что для любого $N$ существует $n \ge N$ , такое, что $|x_n - a| \ge \varepsilon$ , т. е. $\exists \varepsilon > 0 : \forall N \: \exists n \ge N : |x_n - a| \ge \varepsilon$ . В этой записи число $N$ не может зависеть от $\varepsilon$ , а $n$ зависит от $N$ . В терминах окрестностей получаем, что число $a$ не является пределом последовательности { $x_n$ }, если найдется такая окрестность числа $a$ , вне которой находится бесконечно много элементов последовательности $x_n$ . Теперь легко можем сформулировать в кванторах определение расходящейся последовательности: $\forall a \: \exists \varepsilon = \varepsilon(a) > 0 : \forall N \: \exists n \ge N : |x_n - a| \ge \varepsilon.$

Пример 4. Докажем, что последовательность $x_n = (-1)^n$ расходится. Зададим произвольное $a \in R$ и положим $\varepsilon =\frac{1}{2}$ . Если $a \ge 0$ , то вне окрестности $\left(a - \varepsilon, a + \varepsilon \right)$ находятся элементы последовательности с нечетными номерами, а если $a < 0$ , то с четными номерами. Итак, какое бы $N$ мы ни взяли, найдется $n \ge N$ (например, $n = 2N + 1$ , если $a \ge 0$ и $n = 2N$ , если $a < 0$ ), для которого справедливо неравенство $|x_n - a| \ge \varepsilon$ .

Задание №1
Предполагая, что $n$ пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:
$1)\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{1}{n^2}+ \frac{2}{n^2}+\ldots+\frac{n-1}{n^2} \right )$