Теорема 1 (единственность предела). Если последовательность имеет предел, то он единственный.Предположим противное. Пусть и Выберем Тогда найдутся номера и такие, что для всех справедливо неравенство а для всех справедливо неравенство Положим Тогда при неравенства и должны выполняться одновременно, что невозможно, поскольку при выбранном окрестности и не имеют общих точек.Определение. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число что для всех номеров справедливо неравенство Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.
Легко показать, что ограниченность последовательности равносильна тому, что
С геометрической точки зрения ограниченность последовательности означает, что все ее элементы находятся в некоторой окрестности нуля.
Теорема 2 (необходимое условие сходимости). Если последовательность сходится, то она ограничена.Пусть Зададим и найдем номер N такой, что для всех справедливо неравенство Среди конечного числа элементов найдем наибольший и наименьший Тогда, очевидно, неравенство имеет место для всех Приведем еще одно доказательство. Для найдем номер такой, что при всех Пусть Тогда для всех очевидно, справедливо неравенство
Обратное к доказанной теореме утверждение не имеет места, т. е. из ограниченности последовательности не следует сходимость. В кванторах определение неограниченной последовательности выглядит следующим образом
Следствие (достаточное условие расходимости). Если последовательность неограниченна, то она расходится.Пример. Пусть где Покажем, что эта последовательность неограниченна. Для доказательства будем применять известное неравенство Бернулли которое легко может быть доказано методом математической индукции. Положим Зададим произвольное В силу неравенства Бернулли если только Итак, для любого найдется номер такой, что Это означает, что последовательность неограниченна, а значит, в силу следствия из теоремы, она расходится.Теорема 3. Если то Эта теорема мгновенно вытекает из неравенства Действительно, зададим и, пользуясь условием теоремы, найдем такой номер что для всех справедливо неравенство Тогда для также будет выполняться и неравенство Замечание. Утверждение, обратное к данной теореме, неверно. На- пример, последовательность расходится, и в то же время Легко, однако, видеть, что теорема может быть обращена при В самом деле, достаточно воспользоваться равенством Задание 1
Исследовать последовательность на ограниченность. Решение.
Тогда последовательность — сходящаяся. Из необходимого условия сходимости последовательности следует, что ограниченна. Задание 2
Найти предел последовательности Решение. Поскольку — сумма элементов геометрической прогрессии со знаменателем то Тогда Задание 3
Доказать, что последовательность расходится. Решение. Докажем, что данная последовательность неограниченна.Имеем
Пусть — произвольное положительное число. Возьмём тогда Это означает, что последовательность неограниченна, а поэтому расходится.